Число 72 представьте в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, а произведение всех слагаемых было наибольшим

Для решения задачи нужно представить число 72 в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, а произведение этих слагаемых было наибольшим.

Шаг 1: Обозначим слагаемые

Пусть слагаемые будут $x$, $3x$ и $y$, где:

• $x$ — первое слагаемое, пропорциональное числу 1,
• $3x$ — второе слагаемое, пропорциональное числу 3,
• $y$ — третье слагаемое, которое нам нужно будет найти.

Из условия задачи, сумма этих слагаемых должна быть равна 72:

Это упрощается до:

Шаг 2: Определим произведение слагаемых

Теперь рассмотрим произведение всех слагаемых. Это выражение выглядит так:

Шаг 3: Выразим $y$ через $x$

Из уравнения $4x + y = 72$ можно выразить $y$ как:

Теперь подставим это в выражение для произведения:

Шаг 4: Найдем максимальное произведение

Для нахождения максимума произведения $P$, нужно найти производную функции $P(x)$ и приравнять её к нулю. Раскроем скобки в выражении для $P$:

Теперь найдем производную $P(x)$:

Приравняем её к нулю для нахождения критической точки:

Вынесем $x$ за скобки:

Получаем два решения:

1. $x = 0$, но это не подходит, так как слагаемые должны быть положительными.
2. $432 - 36x = 0$, откуда $x = 12$.

Шаг 5: Проверим, что это максимум

Чтобы убедиться, что найденная точка действительно максимизирует произведение, вычислим вторую производную:

Подставим $x = 12$:

Так как вторая производная отрицательная, то $x = 12$ действительно соответствует максимуму.

Шаг 6: Найдем $y$

Теперь, зная $x = 12$, подставим его в выражение для $y$:

Шаг 7: Ответ

Таким образом, три слагаемых, которые дают максимальное произведение, это:

• $x = 12$,
• $3x = 36$,
• $y = 24$.

Проверим сумму:

Произведение слагаемых:

Итак, оптимальная сумма трёх слагаемых, при которой произведение максимально, это $12 + 36 + 24 = 72$.