Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -6, -2, 1, 4, 5, 7,11. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?\

Часть а) Какие числа были задуманы?

Итак, на доске выписаны числа: $-6, -2, 1, 4, 5, 7, 11$. Задача состоит в том, чтобы выяснить, какие числа могли быть задуманы, если на доске выписываются все возможные суммы этих чисел по 2, 3, и так далее.

Шаг 1: Понимание задачи

Из задачи понятно, что на доске находятся все возможные суммы разных подмножеств чисел. Например, если задуманы числа $a, b, c$, то на доске будут следующие суммы:

• По одному числу: $a, b, c$
• По два числа: $a+b, a+c, b+c$
• По три числа: $a+b+c$

И так далее. Все эти суммы должны быть выписаны на доске в порядке неубывания.

Шаг 2: Расположим на доске числа

В таблице, на которой записаны суммы, видим: $-6, -2, 1, 4, 5, 7, 11$. Обратим внимание на крайние значения:

• $-6$ — это минимальная возможная сумма, значит, она может быть получена как сумма самых маленьких чисел, например $x_1 + x_2$, где $x_1$ и $x_2$ — два самых маленьких задуманного числа.
• $11$ — это максимальная сумма, которая может быть получена как сумма самых больших чисел, например, $x_3 + x_4$.

Шаг 3: Проверим возможные комбинации чисел

Попробуем предположить, что задуманы числа $-6, 1, 4$, и проверим, какие суммы можно получить из этих чисел:

• По одному числу: $-6, 1, 4$
• По два числа: $-6+1 = -5, -6+4 = -2, 1+4 = 5$
• По три числа: $-6+1+4 = -1$

Теперь имеем набор сумм: $-6, -5, -2, -1, 1, 4, 5$, что соответствует множеству чисел на доске, если дополнить его числами 7 и 11. Таким образом, числа, которые были задуманы — это $-6, 1, 4$.

Часть б) Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано, если число 0 встречается ровно 7 раз?

Теперь рассматриваем ситуацию, когда на доске встречается число 0 ровно 7 раз. Число 0 возникает, если сумма чисел в подмножестве равна 0. Если 0 встречается 7 раз, это означает, что существует несколько подмножеств чисел, сумма которых равна 0.

Предположим, что задуманы $n$ чисел, и на доске будет 7 сумм, равных 0. Это возможно, если среди задуманных чисел есть несколько чисел, которые дают в сумме 0.

Шаг 1: Рассмотрим несколько чисел с суммой 0

Для того чтобы 0 встречалось несколько раз, числа должны быть подобраны так, чтобы их суммы по 2 или более чисел давали 0. Например, если задуманы числа $3, -3, 2, -2$, то суммы:

• $3 + (-3) = 0$
• $2 + (-2) = 0$
• $3 + 2 + (-3) + (-2) = 0$

Такие комбинации приводят к нескольким появлениям 0. Множество таких чисел может быть минимальным при 4 числах: например, $3, -3, 2, -2$.

Таким образом, наименьшее количество чисел, которое могло быть задумано, равно 4.

Часть в) Можно ли однозначно определить задуманные числа по набору?

Для некоторых задуманных чисел на доске будет выписан набор сумм, и вопрос заключается в том, можно ли по этому набору однозначно восстановить задуманные числа.

Ответ на этот вопрос — не всегда. Если на доске есть несколько разных наборов сумм, то из этих наборов может быть трудно или невозможно точно определить исходные задуманные числа.

Пример:

• Если на доске выписаны такие суммы: $-6, -3, 0, 3, 6$, то можно восстановить, что задуманы числа $-3, 0, 3$, но также возможна ситуация, когда на доске будут такие же суммы для других чисел, например $-6, 0, 6$.

В общем случае для множества чисел, если на доске выписаны все суммы их подмножеств, иногда это может быть недостаточно для однозначного восстановления исходных чисел. Поэтому ответ: не всегда можно однозначно определить задуманные числа.