Натуральные числа a и b таковы, что a3=2b5. Найдите наименьшее возможное значение суммы a+b. Прошу,

Ответы на вопрос

Отвечает Бактияр Абу.

Дано:

a^{3} = 2 b^{5}

Нужно найти наименьшее значение суммы:

a + b

где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Разберем по шагам.

Число $a^{3}$ — это куб числа $a$ . Значит, в разложении $a^{3}$ все степени простых множителей должны быть кратны 3.

Правая часть:

2 b^{5}

Пусть разложение $b$ на простые множители имеет вид:

b = 2^{x} \cdot p_{1}^{y_{1}} \cdot p_{2}^{y_{2}} \dots

Тогда:

b^{5} = 2^{5 x} \cdot p_{1}^{5 y_{1}} \cdot p_{2}^{5 y_{2}} \dots

А значит:

2 b^{5} = 2^{5 x + 1} \cdot p_{1}^{5 y_{1}} \cdot p_{2}^{5 y_{2}} \dots

Так как это равно $a^{3}$ , все показатели степеней должны делиться на 3.

Для всех простых чисел, кроме двойки, показатель имеет вид:

5 y

Он должен делиться на 3. Так как 5 и 3 взаимно простые, значит:

y должен делиться на 3

Самое маленькое положительное значение:

y = 3

Для двойки показатель:

5 x + 1

тоже должен делиться на 3:

5 x + 1 \equiv 0 (mod 3)

Так как $5 \equiv 2 (mod 3)$ :

2 x + 1 \equiv 0 (mod 3)

2 x \equiv 2 (mod 3)

x \equiv 1 (mod 3)

Минимальное значение:

x = 1

Значит, чтобы получить минимальные числа, берем:

b = 2^{1} = 2

Но проверим:

2 b^{5} = 2 \cdot 2^{5} = 64

А:

64 = 4^{3}

Значит:

a = 4

Получаем:

a + b = 4 + 2 = 6

6

Проверка:

4^{3} = 64

2 \cdot 2^{5} = 2 \cdot 32 = 64

Равенство выполняется, а сумма $a + b = 6$ — минимальная.

Натуральные числа a и b таковы, что a3=2b5. Найдите наименьшее возможное значение суммы a+b.
Прошу, с объяснением пожалуйста! Ничего в этой теме не понимаю...