Три натуральных числа подобраны так, что сумма обратных к ним чисел меньше 1. Найдите наибольшее возможное значение этой суммы.

Рассмотрим задачу. Требуется найти три натуральных числа $a, b, c$, таких, что сумма обратных им чисел меньше 1, то есть:

и при этом их сумма $S = a + b + c$ максимально возможна.

Анализ задачи

1. Условие натуральности: Числа $a, b, c$ должны быть натуральными, то есть $a, b, c \geq 1$.
2. Условие на дроби: Сумма обратных чисел $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ должна оставаться меньше 1.
3. Оптимизация: Для максимизации суммы $S$, числа $a, b, c$ должны быть как можно больше.

Подход к решению

Для соблюдения условия $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1$, если $a, b, c$ будут большими, то соответствующие дроби станут малыми, что хорошо для выполнения неравенства. Однако при этом $a + b + c$ тоже станет большим. Нужно найти баланс между этими требованиями.

Попробуем перебор чисел

Минимальные значения

Начнем с минимального набора чисел $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$. Для этих значений:

Это значение равно 1, но нам нужно, чтобы сумма была меньше 1. Следовательно, нужно увеличить одно из чисел $a, b, c$.

Увеличение $c$

Если $a = 2$, $b = 3$, а $c = 7$, то:

Сумма становится меньше 1. Проверим $a + b + c$:

Дальнейшее увеличение

Теперь попробуем увеличить $c$ еще больше. Если $a = 2$, $b = 3$, $c = 8$, то:

Сумма $S = 2 + 3 + 8 = 13$.

Проверка других комбинаций

Попробуем увеличить $b$ и $c$. Если $a = 2$, $b = 4$, $c = 8$, то:

Сумма $S = 2 + 4 + 8 = 14$.

Наибольшее значение

В результате анализа видно, что наибольшая сумма достигается при $a = 2$, $b = 4$, $c = 8$, когда:

Это и есть ответ: