2. Две бригады должны были выполнить одинаковую работу. Первая бригада выполнила работу на 30 мин раньше второй. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Найдите число рабочих в каждой бригаде, если производительность обеих бригад одинакова.

Решение:

По условию две бригады выполняли одинаковую работу, причём производительность каждого рабочего одинакова. Первая бригада закончила работу на 30 минут раньше второй.

Обозначим:

• $x$ — число рабочих в первой бригаде;

• $y$ — число рабочих во второй бригаде;

• $t$ — время работы первой бригады (в часах).

Тогда вторая бригада работала $t+0{,}5$ часа.

Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, она выполнила бы работу на 2 часа быстрее, то есть за $t-2$ часа.

1. Составим уравнения.

Поскольку объём работы одинаков и производительность рабочих одинакова, произведение числа рабочих на время работы должно быть одинаковым:

Кроме того, по второму условию:

2. Выразим время через число рабочих.

Раскроем скобки во втором уравнении:

Сократим $xt$:

Отсюда:

3. Найдём количество рабочих.

Подставим выражение для $t$ в первое уравнение:

Выразим $y$:

Найдём разность между количеством рабочих:

Приведём к общему знаменателю:

Поскольку $x$ — положительное целое число, получаем:

Разность $x-y$ тоже должна быть положительным целым числом. Следовательно:

Тогда:

Следовательно:

4. Проверка.

Первая бригада из 25 рабочих выполняла работу за:

Вторая бригада из 24 рабочих выполняла работу за 12,5 часа.

Проверим объёмы работы в человеко-часах:

Если в первой бригаде было бы на 5 рабочих больше, то есть 30 человек, время выполнения работы составило бы:

Это на 2 часа меньше первоначальных 12 часов. Все условия выполняются.

Ответ: в первой бригаде — 25 рабочих, во второй — 24 рабочих.

Примечание: здесь подразумевается, что с пятью дополнительными рабочими первая бригада закончила бы работу на 2 часа раньше своего фактического окончания. Если же имеется в