Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:
1 [tex]\int\limits {\frac{e^x}{3-4e^x} } \, dx[/tex];

2 [tex]\int\limits {arctg3x} \, dx[/tex];

1. Найти интеграл:

Решение.

Сделаем замену переменной:

Тогда:

Отсюда:

Подставим в исходный интеграл:

Используем формулу:

Получаем:

Возвращаемся к исходной переменной:

Проверка дифференцированием:

Найдём производную полученного результата:

Сокращаем:

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, решение верно.

2. Найти интеграл:

Решение.

Для решения воспользуемся методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям:

Выберем:

Тогда:

Подставляем в формулу:

Вычислим оставшийся интеграл:

Сделаем замену:

Тогда:

Получаем:

Возвращаемся к переменной $x$:

Следовательно, окончательный ответ: