Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 357, а третий член прогрессии на 255 больше первого. Найти разность между первым и вторым членами прогрессии.

Решение.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $b_1=a$, а знаменатель прогрессии равен $q$.

Тогда:

• первый член: $b_1=a$;

• второй член: $b_2=aq$;

• третий член: $b_3=aq^2$.

По условию сумма первых трёх членов равна 357:

Также третий член на 255 больше первого:

Получаем систему уравнений:

Вычтем второе уравнение из первого:

Раскроем скобки:

Отсюда:

Подставим во второе уравнение системы:

Разложим разность квадратов:

Разделим на 51:

Раскроем скобки:

Решим квадратное уравнение:

Получаем два значения:

Рассмотрим оба случая.

1. Если $q=4$, то:

Первый и второй члены равны 17 и 68.

Их разность:

2. Если $q=-\frac32$, то:

Первый и второй члены равны 204 и -306.

Их разность:

Ответ: 51 или 510 (в зависимости от того, какая разность имеется в виду: второго и первого членов или первого и второго по порядку вычитания).