123. Определите m так, чтобы уравнения x²+x+m=0 и x²+mx+1=0 имели общий корень. Найдите этот корень.
124. При каких a система уравнений x²+y²=2a, xy=a-1/2 имеет ровно два решения?

123. Пусть общий корень равен \(x\). Из первого уравнения:

\[m=-x^2-x.\]

Подставим во второе уравнение:

\[x^2+x(-x^2-x)+1=0,\]

\[1-x^3=0.\]

Отсюда \(x=1\). Тогда

\[m=-1^2-1=-2.\]

Ответ: \(m=-2\), общий корень \(x=1\).

124. Сложим и вычтем выражения:

\[(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4a-1,\]

\[(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=1.\]

При \(a<\frac14\) решений нет, при \(a>\frac14\) получается четыре решения. Ровно два решения будут при

\[a=\frac14.\]

Ответ: \(a=\frac14\).

0 0 Пожаловаться