решите уравнение log5 x-logx 5=2

Чтобы решить уравнение $\log_5 x - \log_x 5 = 2$, начнём с преобразования его в более удобную форму.

1. Применим логарифмические свойства.

   Во-первых, вспомним, что $\log_a b$ можно выразить через логарифм по любому основанию, например, через логарифм по основанию 10:

   $$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$

   Таким образом, выражение $\log_x 5$ можно переписать как:

   $$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$$

   Это свойство следует из того, что логарифмы с взаимными основаниями являются взаимно обратными. Подставим это в исходное уравнение.

2. Подставляем это выражение в уравнение:

   $$\log_5 x - \frac{1}{\log_5 x} = 2$$

3. Обозначим $y = \log_5 x$.

   Тогда уравнение примет вид:

   $$y - \frac{1}{y} = 2$$

   Умножим обе части уравнения на $y$ (при этом $y \neq 0$, потому что логарифм не может быть равен нулю):

   $$y^2 - 1 = 2y$$

4. Преобразуем полученное уравнение:

   $$y^2 - 2y - 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

   Дискриминант для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$, тогда:

   $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

5. Находим корни уравнения:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

   Таким образом, у нас два корня:

   $$y_1 = 1 + \sqrt{2}, \quad y_2 = 1 - \sqrt{2}$$

6. Возвращаемся к переменной $x$.

   Напоминаем, что $y = \log_5 x$, и тогда:

   $$\log_5 x = 1 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad \log_5 x = 1 - \sqrt{2}$$

   Для первой гипотезы $\log_5 x = 1 + \sqrt{2}$:

   $$x = 5^{1 + \sqrt{2}}$$

   Для второй гипотезы $\log_5 x = 1 - \sqrt{2}$