Дана точка K(−3). Найди координаты точек P и M таких, что PM =10 и KP=3KM
Координаты точек P и M записывай так, чтобы координаты точки Р возрастали

Задача заключается в нахождении координат точек P и M на оси, удовлетворяющих условиям:

1. Расстояние между точками P и M равно 10 (PM = 10).
2. Расстояние от точки K до точки P равно в 3 раза больше расстояния от точки K до точки M (KP = 3 * KM).

Пусть точка K имеет координаты (-3). Будем искать координаты точек P и M.

Обозначения и шаги:

• Пусть координаты точки P равны $x_P$, а координаты точки M равны $x_M$.
• Из условия PM = 10, мы знаем, что $|x_P - x_M| = 10$ (модуль разности координат).
• Из условия KP = 3 * KM, имеем $|x_P + 3| = 3 \cdot |x_M + 3|$, так как точка K находится в точке -3.

Разбор условий:

1. Условие $|x_P - x_M| = 10$:

Это значит, что разница между координатами P и M равна 10, т.е.: $x_P = x_M + 10 \quad \text{или} \quad x_M = x_P + 10.$ То есть, точки P и M могут быть расположены друг от друга на 10 единиц по оси.

2. Условие $|x_P + 3| = 3 \cdot |x_M + 3|$:

Раскроем это условие для двух случаев — когда $x_P \geq -3$ и $x_P < -3$. И также для $x_M \geq -3$ и $x_M < -3$.

• Первый случай: если $x_P \geq -3$ и $x_M \geq -3$, то у нас получается: $x_P + 3 = 3 \cdot (x_M + 3),$ что дает: $x_P + 3 = 3x_M + 9,$ $x_P = 3x_M + 6.$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $x_P = x_M + 10,$
2. $x_P = 3x_M + 6.$

Приравняем их:

Подставим $x_M = 2$ в первое уравнение:

Таким образом, одна пара решений: $x_P = 12$ и $x_M = 2$.

3. Проверка:

• Расстояние между точками P и M: $|12 - 2| = 10$, что верно.
• Расстояние от точки K до P: $|12 + 3| = 15$.
• Расстояние от точки K до M: $|2 + 3| = 5$.
• Действительно, $15 = 3 \times 5$, условие выполняется.

4. Второй случай: $x_P < -3$ и $x_M < -3$:

Если мы решим систему аналогично, то получим, что $x_P = -2$ и $x_M = -8$, но в этом случае координаты точки P будут меньше координаты точки M, что противоречит тому, что координаты точки P должны быть больше.

Ответ:

Координаты точек P и M: точка P имеет координаты $12$, точка M имеет координаты $2$.