Вычислите с помощью определённого интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х^2 - 4х - 5, у = 0, х = 0, х = 4. С рисунком.

Парабола задана формулой

\[ y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9. \]

Её вершина находится в точке \( (2;-9) \). На отрезке \(0\leq x\leq4\) график расположен ниже оси \(Ox\), так как \(y(0)=-5\), \(y(2)=-9\), \(y(4)=-5\).

На рисунке нужно изобразить ветви параболы, направленные вверх, ниже оси \(Ox\), и провести прямые \(x=0\) и \(x=4\). Искомая фигура лежит между параболой и осью \(Ox\).

Площадь:

\[ S=\int_0^4\left(0-(x^2-4x-5)\right)dx=\int_0^4(-x^2+4x+5)dx. \]

\[ S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2+5x\right)\Big|_0^4=-\frac{64}{3}+32+20=\frac{92}{3}. \]

Ответ: \(\frac{92}{3}\) квадратных единиц.

0 0 Пожаловаться