Решите в целых числах уравнение x^ 2 − y ^ 2 = 12.


Если решений несколько, каждое решение (,) введите в отдельное поле ввода, разделив числа пробелом (сначала , потом ). Например, если решением является =10, =−9, то нужно ввести «10 -9» (без кавычек).

Для решения уравнения $x^2 - y^2 = 12$ можно воспользоваться факторизацией, так как это разность квадратов:

Теперь нужно найти все пары целых чисел $(x - y)$ и $(x + y)$, произведение которых равно 12. Возможные разложения числа 12 на два множителя (с учетом знаков):

а также

Теперь рассмотрим каждую пару и решим систему уравнений:

1. Если $x - y = 1$ и $x + y = 12$:

   $$x - y = 1 \quad \text{и} \quad x + y = 12.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = 13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{13}{2},$$

   что не является целым числом. Значит, эта пара решений не подходит.

2. Если $x - y = 2$ и $x + y = 6$:

   $$x - y = 2 \quad \text{и} \quad x + y = 6.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

   Подставляем $x = 4$ в одно из уравнений, например, $x - y = 2$:

   $$4 - y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2.$$

   Таким образом, одно решение: $(x, y) = (4, 2)$.

3. Если $x - y = 3$ и $x + y = 4$:

   $$x - y = 3 \quad \text{и} \quad x + y = 4.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{2},$$

   что не является целым числом. Значит, эта пара решений не подходит.

4. Если $x - y = -1$ и $x + y = -12$:

   $$x - y = -1 \quad \text{и} \quad x + y = -12.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = -13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-13}{2},$$

   что не является целым числом. Значит, эта пара решений не подходит.

5. Если $x - y = -2$ и $x + y = -6$:

   $$x - y = -2 \quad \text{и} \quad x + y = -6.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = -4.$$

   Подставляем $x = -4$ в одно из уравнений, например, $x - y = -2$:

   $$-4 - y = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -2.$$

   Таким образом, второе решение: $(x, y) = (-4, -2)$.

6. Если $x - y = -3$ и $x + y = -4$:

   $$x - y = -3 \quad \text{и} \quad x + y = -4.$$

   Сложив эти два уравнения, получаем:

   $$2x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-7}{2},$$

   что не является целым числом. Значит, эта пара решений не подходит.

7. Если $x - y = 12$