В столярной мастерской работает мастер и его ученик. За сколько дней ученик может изготовить кресло, если ученик на изготовление кресла тратит на 9 дней больше, чем мастер, а работая одновременно, они могут эту работу сделать за 6 дней.

Ученик может изготовить кресло за
дней.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Пусть $x$ — количество дней, которое мастер тратит на изготовление кресла. Тогда ученик, по условию задачи, тратит на 9 дней больше, то есть $x + 9$ дней.

2. Из условия задачи мы знаем, что если мастер и ученик работают одновременно, то они могут изготовить кресло за 6 дней. Это означает, что за 1 день их совместной работы они могут сделать $\frac{1}{6}$ части кресла.

3. Мастер за 1 день выполняет работу, равную $\frac{1}{x}$ части кресла, а ученик за 1 день — $\frac{1}{x + 9}$ части.

4. Совместная работа мастера и ученика за 1 день составит сумму их производительности:

   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6}$$

5. Чтобы решить это уравнение, сначала привезем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим обе части уравнения на $6x(x + 9)$:

   $$6(x + 9) + 6x = x(x + 9)$$

   Раскроем скобки:

   $$6x + 54 + 6x = x^2 + 9x$$

   Упростим:

   $$12x + 54 = x^2 + 9x$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$x^2 - 3x - 54 = 0$$

   Теперь решим квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 15}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{3 + 15}{2} = 9 \quad \text{или} \quad x = \frac{3 - 15}{2} = -6$$

   Поскольку количество дней не может быть отрицательным, выбираем $x = 9$.

6. Мастер тратит 9 дней на изготовление кресла. Ученик же тратит на 9 дней больше, то есть $9 + 9 = 18$ дней.

Ответ: ученик может изготовить кресло за 18 дней.