Автобус первую половину пути из города А в город В прошел со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 20 км/ч. Из города В в город А автобус шел со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на всем пути.

Для решения задачи нужно учитывать не только скорости автобуса, но и то, что расстояние в пути не всегда равняется времени, и нужно правильно учитывать формулу средней скорости.

1. Обозначим расстояние между городами A и B как S.

   Пусть это расстояние будет $S$ километров. Тогда первая половина пути, которую автобус прошел со скоростью 40 км/ч, составляет $\frac{S}{2}$ километров, и вторая половина пути, которую он прошел со скоростью 20 км/ч, также составляет $\frac{S}{2}$ километров.

2. Время, затраченное на первую половину пути.

   Для первой половины пути (расстояние $\frac{S}{2}$ км, скорость 40 км/ч):

   $$t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{40} = \frac{S}{80}$$

3. Время, затраченное на вторую половину пути.

   Для второй половины пути (расстояние $\frac{S}{2}$ км, скорость 20 км/ч):

   $$t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{20} = \frac{S}{40}$$

4. Общее время в пути из города A в город B.

   Общее время на пути от города A до города B (включая обе половины пути):

   $$t_{\text{AB}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{80} + \frac{S}{40} = \frac{S}{80} + \frac{2S}{80} = \frac{3S}{80}$$

5. Общее время в пути из города B в город A.

   Когда автобус едет обратно из города B в город A, он движется со скоростью 40 км/ч, и путь остается $S$ километров. Время в пути:

   $$t_{\text{BA}} = \frac{S}{40}$$

6. Общее время на весь путь (туда и обратно).

   Сложим время на путь из города A в город B и на путь обратно:

   $$t_{\text{total}} = t_{\text{AB}} + t_{\text{BA}} = \frac{3S}{80} + \frac{S}{40}$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$t_{\text{total}} = \frac{3S}{80} + \frac{2S}{80} = \frac{5S}{80} = \frac{S}{16}$$

7. Общее расстояние.

   Расстояние туда и обратно будет равно $2S$.

8. Средняя скорость.

   Средняя скорость на всем пути рассчитывается по формуле:

   $$v_{\text{сред}} = \frac{\text{общее расстояние}}{\text{общее время}} = \frac{2S}{\frac{S}{16}} = 2S \times \frac{16}{S} = 32 \text{ км/ч}$$

Ответ: Средняя скорость автобуса на всем пути составляет 32 км/ч.