Решите систему уравнений x^2 - 3y^2 = 52 y - x = 14

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом. У нас есть два уравнения:

1. $x^2 - 3y^2 = 52$
2. $y - x = 14$

Сначала преобразуем второе уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую. Из уравнения $y - x = 14$, мы можем выразить $y$ как $y = x + 14$.

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x^2 - 3(x + 14)^2 = 52$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 - 3(x^2 + 28x + 196) = 52$ $x^2 - 3x^2 - 84x - 588 = 52$ $-2x^2 - 84x - 640 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = -2$, $b = -84$, и $c = -640$. Для нахождения корней этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставим значения и найдем корни:

$x = \frac{84 \pm \sqrt{(-84)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-640)}}{-4}$

Вычислим дискриминант и корни:

$D = b^2 - 4ac = (-84)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-640)$ $x_1 = \frac{84 + \sqrt{D}}{-4}$ $x_2 = \frac{84 - \sqrt{D}}{-4}$

После нахождения значений $x_1$ и $x_2$, мы подставим их обратно в выражение $y = x + 14$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

Теперь давайте выполним эти вычисления.

После вычислений мы нашли, что дискриминант $D = 1936$, и уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = -32$ и $x_2 = -10$.

Теперь мы подставим эти значения $x$ в выражение $y = x + 14$, чтобы найти соответствующие значения $y$:

Для $x_1 = -32$: $y_1 = -32 + 14 = -18$

Для $x_2 = -10$: $y_2 = -10 + 14 = 4$

Итак, у системы уравнений два решения:

1. $(x_1, y_1) = (-32, -18)$
2. $(x_2, y_2) = (-10, 4)$

Эти пары чисел являются решениями исходной системы уравнений. ​​