Том Сойер и Гек Финн вместе красят забор за 9 часов, Том и Бекки Тетчер вместе красят забор за 18 часов, а Гек и Бекки вместе - за 12 часов. За сколько часов Том, Гек и Бекки покрасят забор, если будут работать втроем?

Задача требует использования метода работы с дробями, который основан на скорости работы каждого из участников. Пусть у нас есть три человека: Том, Гек и Бекки, и нам нужно найти, сколько времени они потратят на покраску забора, если будут работать втроем.

1. Обозначим скорости работы Тома, Гека и Бекки через $t$, $g$ и $b$ соответственно, где:

   • $t$ — это часть забора, которую Том покрасит за 1 час.
   • $g$ — это часть забора, которую Гек покрасит за 1 час.
   • $b$ — это часть забора, которую Бекки покрасит за 1 час.

2. Из условия задачи мы знаем:

   • Том и Гек покрасят забор за 9 часов. Это значит, что за 1 час они вместе покрасят $\frac{1}{9}$ забора. То есть:
   $$t + g = \frac{1}{9}.$$
   • Том и Бекки покрасят забор за 18 часов, значит, за 1 час они вместе покрасят $\frac{1}{18}$ забора. То есть:
   $$t + b = \frac{1}{18}.$$
   • Гек и Бекки покрасят забор за 12 часов, значит, за 1 час они вместе покрасят $\frac{1}{12}$ забора. То есть:
   $$g + b = \frac{1}{12}.$$

3. Теперь у нас есть система из трех уравнений:

   $$\begin{aligned} t + g &= \frac{1}{9}, \\ t + b &= \frac{1}{18}, \\ g + b &= \frac{1}{12}. \end{aligned}$$

4. Чтобы найти, сколько времени они потратят на покраску забора втроем, нужно найти их общую скорость работы $t + g + b$.

   Сложим все три уравнения:

   $$(t + g) + (t + b) + (g + b) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}.$$

   Получим:

   $$2t + 2g + 2b = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}.$$

   Разделим обе стороны на 2:

   $$t + g + b = \frac{1}{18} + \frac{1}{36} + \frac{1}{24}.$$

5. Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 18, 36 и 24 — это 72. Приведем дроби:

   $$\frac{1}{18} = \frac{4}{72}, \quad \frac{1}{36} = \frac{2}{72}, \quad \frac{1}{24} = \frac{3}{72}.$$

   Сложим их:

   $$t + g + b = \frac{4}{72} + \frac{2}{72} + \frac{3}{72} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}.$$

6. Это означает, что Том, Гек и Бекки вместе покрасят забор за 8 часов.

Ответ: Том, Гек и Бекки покрасят забор за 8 часов, если будут работать втроем.