В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за каждый первый промах 1 очко, за каждый следующий по 0.5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, сколько раз попал в цель стрелок, если он получил 7 штрафных очков, и за каждый промах штраф увеличивался по определенному правилу.

1. Предположим, что стрелок сделал $x$ промахов. То есть, количество попаданий будет равно $25 - x$, поскольку в серии 25 выстрелов.

2. Условия штрафа:

   • За первый промах штраф составляет 1 очко.
   • За второй промах штраф — 1.5 очка.
   • За третий промах — 2 очка и так далее, увеличиваясь на 0.5 очка за каждый последующий промах.

3. Обозначим штрафы:

   • Первый промах: 1 очко.
   • Второй промах: 1.5 очка.
   • Третий промах: 2 очка.
   • Четвертый промах: 2.5 очка.
   • И так далее...

4. Общая сумма штрафных очков для $x$ промахов:

   Штрафы составляют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 0.5. Сумма первых $x$ членов этой прогрессии может быть найдена по формуле для суммы членов арифметической прогрессии:

   $$S_x = \frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (x - 1) \cdot 0.5)$$

   Упростим формулу:

   $$S_x = \frac{x}{2} \cdot (2 + 0.5x - 0.5) = \frac{x}{2} \cdot (1.5 + 0.5x)$$

   Таким образом, сумма штрафов для $x$ промахов будет равна:

   $$S_x = \frac{x}{2} \cdot (1.5 + 0.5x)$$

5. Из условия задачи известно, что сумма штрафных очков равна 7. Подставим это значение в формулу и решим для $x$:

   $$\frac{x}{2} \cdot (1.5 + 0.5x) = 7$$

   Умножим обе части уравнения на 2:

   $$x \cdot (1.5 + 0.5x) = 14$$

   Раскроем скобки:

   $$1.5x + 0.5x^2 = 14$$

   Преобразуем уравнение в стандартную форму:

   $$0.5x^2 + 1.5x - 14 = 0$$

   Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

   $$x^2 + 3x - 28 = 0$$

6. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

   Дискриминант уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$ равен:

   $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$$

   Теперь находим корни уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 11}{2}$$

   Таким образом, у нас два корня:

   $$x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = -7$$

   Поскольку количество промахов не может быть отрицательным, оставляем только $x = 4$.

7. Количество попаданий:

   Стрелок сделал 4 промаха, значит, количество попаданий будет равно:

   $$25 - 4 = 21$$

Ответ: Стрелок попал в цель 21 раз.