В треугольнике ABC AB=BC, AC=16, высота CH равна 4. Найдите синус угла ACB.

Для того чтобы найти синус угла $ACB$ в треугольнике ABC, где $AB = BC$, $AC = 16$, а высота $CH = 4$, давайте рассмотрим несколько важных шагов.

1. Обозначения и исходные данные: У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием $AC = 16$ и равными сторонами $AB = BC$. Также дана высота $CH$, которая опускается на основание $AC$ и имеет длину 4.

2. Найдем длину отрезков $AH$ и $HC$: Высота делит основание $AC$ пополам, следовательно, отрезки $AH$ и $HC$ равны между собой. Поскольку $AC = 16$, то длины этих отрезков составляют:

   $$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

3. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем катеты $AH = 8$ и $CH = 4$. Можем найти гипотенузу $AC$ (в данном случае она известна и равна 16) и проверить эти данные. Однако, нам нужно найти длину стороны $AB$ или $BC$, а для этого используем теорему Пифагора для треугольника $ABH$:

   $$AB^2 = AH^2 + CH^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80,$$ $$AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$

4. Найдем синус угла $ACB$: Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можем использовать определение синуса для угла $ACB$. В треугольнике $ABC$ синус угла $ACB$ равен отношению противолежащего катета $CH$ к гипотенузе $AB$:

   $$\sin \angle ACB = \frac{CH}{AB} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

   Чтобы привести ответ к более удобному виду, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

   $$\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{5}}{5}.$$

Таким образом, синус угла $ACB$ в этом треугольнике равен $\frac{\sqrt{5}}{5}$.