доказать что: 7¹⁶+7¹⁴ делится на 50.

Для доказательства того, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, нужно показать, что выражение делится и на 2, и на 5, поскольку 50 = $2 \times 5$.

1. Докажем, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 2

Число 7 нечётное, а степень нечётного числа всегда остаётся нечётной. Сумма двух нечётных чисел ($7^{16}$ и $7^{14}$) будет чётной. Следовательно, $7^{16} + 7^{14}$ делится на 2.

2. Докажем, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 5

Рассмотрим остатки степеней числа 7 при делении на 5. Заметим, что 7 ≡ 2 (mod 5), то есть $7$ по модулю 5 эквивалентно 2. Поэтому:

Теперь найдем периодичность $2^n$ по модулю 5:

Период повторяется каждые 4 степени: $2, 4, 3, 1$.

Теперь найдём остатки $7^{16}$ и $7^{14}$ по модулю 5:

• $7^{16} \equiv 2^{16} \pmod{5}$. Так как период равен 4, то $16 \mod 4 = 0$, следовательно, $2^{16} \equiv 1 \pmod{5}$.
• $7^{14} \equiv 2^{14} \pmod{5}$. Так как $14 \mod 4 = 2$, то $2^{14} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$.

Сложим эти остатки:

Следовательно, $7^{16} + 7^{14}$ делится на 5.

3. Итог

Так как $7^{16} + 7^{14}$ делится и на 2, и на 5, то оно делится на 50. Доказательство завершено.