Вопрос задан 29.03.2025 в 12:29. Предмет Алгебра. Спрашивает Гайворонский Дима.

доказать что: 7¹⁶+7¹⁴ делится на 50.

Перейти к ответам

Ответы на вопрос

Отвечает Богданов Игорь.

Для доказательства того, что 716+7147^{16} + 7^{14} делится на 50, нужно показать, что выражение делится и на 2, и на 5, поскольку 50 = 2×52 \times 5.


1. Докажем, что 716+7147^{16} + 7^{14} делится на 2

Число 7 нечётное, а степень нечётного числа всегда остаётся нечётной. Сумма двух нечётных чисел (7167^{16} и 7147^{14}) будет чётной. Следовательно, 716+7147^{16} + 7^{14} делится на 2.


2. Докажем, что 716+7147^{16} + 7^{14} делится на 5

Рассмотрим остатки степеней числа 7 при делении на 5. Заметим, что 7 ≡ 2 (mod 5), то есть 77 по модулю 5 эквивалентно 2. Поэтому:

7n2n(mod5).7^n \equiv 2^n \pmod{5}.

Теперь найдем периодичность 2n2^n по модулю 5:

212(mod5),2^1 \equiv 2 \pmod{5}, 224(mod5),2^2 \equiv 4 \pmod{5}, 233(mod5),2^3 \equiv 3 \pmod{5}, 241(mod5).2^4 \equiv 1 \pmod{5}.

Период повторяется каждые 4 степени: 2,4,3,12, 4, 3, 1.

Теперь найдём остатки 7167^{16} и 7147^{14} по модулю 5:

  • 716216(mod5)7^{16} \equiv 2^{16} \pmod{5}. Так как период равен 4, то 16mod4=016 \mod 4 = 0, следовательно, 2161(mod5)2^{16} \equiv 1 \pmod{5}.
  • 714214(mod5)7^{14} \equiv 2^{14} \pmod{5}. Так как 14mod4=214 \mod 4 = 2, то 214224(mod5)2^{14} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}.

Сложим эти остатки:

716+7141+450(mod5).7^{16} + 7^{14} \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}.

Следовательно, 716+7147^{16} + 7^{14} делится на 5.


3. Итог

Так как 716+7147^{16} + 7^{14} делится и на 2, и на 5, то оно делится на 50. Доказательство завершено.

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Алгебра 01.04.2025 15:52 160 Циммерман Кристина
Алгебра 22.01.2024 06:04 576 Любомудров Евгений

Последние заданные вопросы в категории Алгебра

Задать вопрос