Доказать, что число 9^15-3^27 делится на 26

Чтобы доказать, что число $9^{15} - 3^{27}$ делится на 26, проверим делимость этого выражения на 2 и на 13. Если оно делится и на 2, и на 13, то оно делится и на их произведение, то есть на 26.

1. Преобразование выражения $9^{15} - 3^{27}$

   Заметим, что $9$ и $3^2$ связаны следующим образом: $9 = 3^2$. Тогда можно переписать выражение $9^{15}$ как $(3^2)^{15} = 3^{30}$. Тогда наше выражение примет вид:

   $$9^{15} - 3^{27} = 3^{30} - 3^{27}.$$

   Вынесем общий множитель $3^{27}$:

   $$3^{30} - 3^{27} = 3^{27} \cdot (3^3 - 1).$$

   Теперь упростим выражение $3^3 - 1$:

   $$3^3 - 1 = 27 - 1 = 26.$$

   Таким образом, наше выражение можно переписать в следующем виде:

   $$9^{15} - 3^{27} = 3^{27} \cdot 26.$$

2. Делимость на 26

   Из вышеприведенного представления видно, что $9^{15} - 3^{27}$ является произведением числа $3^{27}$ и числа $26$. Поскольку 26 делится на 26, то и всё произведение $3^{27} \cdot 26$ делится на 26.

Таким образом, мы доказали, что $9^{15} - 3^{27}$ делится на 26.