Решите уравнение:

arccos(2x² - 1) = arccos(3x + 1)

Для того чтобы решить уравнение $\arccos(2x^2 - 1) = \arccos(3x + 1)$, рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Общее понимание уравнения

У нас есть два выражения, содержащие функции $\arccos$ (обратный косинус). Мы знаем, что $\arccos(y)$ — это угол $\theta$, такой что $\cos(\theta) = y$, где $\theta$ лежит в интервале от 0 до $\pi$. Таким образом, если два выражения для $\arccos$ равны, то сами выражения внутри косинусов тоже должны быть равны, если мы не учитываем возможных дополнительных решений из-за свойств косинуса.

Шаг 2: Преобразование уравнения

Из уравнения $\arccos(2x^2 - 1) = \arccos(3x + 1)$ следует, что:

Рассмотрим оба случая.

Шаг 3: Первый случай $2x^2 - 1 = 3x + 1$

Переносим все члены в одну сторону:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $\Delta$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ рассчитывается по формуле:

Здесь $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. Подставим значения:

Теперь находим корни:

Получаем два корня:

Шаг 4: Второй случай $2x^2 - 1 = -(3x + 1)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

Вынесем общий множитель $x$:

Отсюда получаем два корня:

Шаг 5: Проверка решений на область допустимых значений

Не забываем, что выражения $2x^2 - 1$ и $3x + 1$ должны быть в области значений функции $\arccos$, то есть они должны быть в интервале $[-1, 1]$. Проверим каждое из найденных решений:

1. Для $x = 2$:

   • $2x^2 - 1 = 2(2)^2 - 1 = 8 - 1 = 7$, что выходит за пределы $[-1, 1]$.
   • Это решение не подходит.

2. Для $x = -\frac{1}{2}$:

   • $2x^2 - 1 = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, что лежит в интервале $[-1, 1]$