записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Задача состоит в том, чтобы записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел $x$ и $y$, так, чтобы сумма их квадратов $x^2 + y^2$ была минимальной. Разберем решение пошагово.

1. Запись числа 625 в виде произведения: Нам нужно найти такие два числа $x$ и $y$, что:

   $$x \cdot y = 625.$$

   Таким образом, $y = \frac{625}{x}$.

2. Сумма квадратов чисел: Необходимо минимизировать сумму квадратов:

   $$S = x^2 + y^2 = x^2 + \left( \frac{625}{x} \right)^2.$$

   Теперь это выражение можно упростить:

   $$S(x) = x^2 + \frac{625^2}{x^2}.$$

   Эта функция зависит от $x$, и для нахождения ее минимума нужно взять производную.

3. Нахождение минимума функции: Возьмем производную функции $S(x)$ по $x$:

   $$\frac{dS(x)}{dx} = 2x - 2 \cdot \frac{625^2}{x^3}.$$

   Чтобы найти критическую точку, приравняем производную к нулю:

   $$2x - 2 \cdot \frac{625^2}{x^3} = 0.$$

   Упростим:

   $$x = \frac{625^2}{x^3},$$ $$x^4 = 625^2,$$ $$x = 625^{1/2} = 25.$$

4. Проверка второго производного: Чтобы убедиться, что найденное значение $x = 25$ действительно минимизирует сумму квадратов, нужно вычислить вторую производную функции $S(x)$:

   $$\frac{d^2S(x)}{dx^2} = 2 + 3 \cdot \frac{625^2}{x^4}.$$

   Подставим $x = 25$:

   $$\frac{d^2S(x)}{dx^2} = 2 + 3 \cdot \frac{625^2}{25^4} > 0.$$

   Это подтверждает, что функция имеет минимум в точке $x = 25$.

5. Значения $x$ и $y$: Если $x = 25$, то $y = \frac{625}{25} = 25$. Таким образом, оптимальные числа для минимизации суммы квадратов — это 25 и 25.

6. Ответ: Число 625 можно записать в виде произведения двух чисел 25 и 25, так, что сумма их квадратов будет минимальной. Сумма квадратов равна:

   $$25^2 + 25^2 = 625 + 625 = 1250.$$

   Это минимальное значение для суммы квадратов.