Основание прямой призмы — ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы

Ответы на вопрос

Отвечает Воскресенская Елизавета.

Для решения задачи найдем площадь сечения призмы, которое проходит через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Шаг 1. Найдем параметры основания призмы — ромба.

Основание призмы — ромб со стороной $a = 5 \, \text{см}$ и тупым углом $\alpha = 120^\circ$ .

Высота ромба:

Высота ромба, проведенная между двумя параллельными сторонами, равна:

h = a \cdot \sin(\alpha).

Подставляем значения:

h = 5 \cdot \sin(120^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{см}.

Площадь ромба:

Площадь ромба можно найти через основание и высоту:

S_\text{ромба} = a \cdot h = 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2.

Диагонали ромба:

Диагонали ромба связаны с его площадью формулой:

S_\text{ромба} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Выразим меньшую диагональ $d_1$ , учитывая, что тупой угол $\alpha = 120^\circ$ , а острый угол $\beta = 60^\circ$ :

d_1 = a \cdot \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))}.

Подставляем значения:

d_1 = 5 \cdot \sqrt{2(1 - \cos(120^\circ))} = 5 \cdot \sqrt{2(1 - (-\frac{1}{2}))} = 5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5 \cdot \sqrt{3}.

Теперь площадь ромба можно перепроверить:

S_\text{ромба} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3} \cdot d_2}{2} \quad \Rightarrow \quad d_2 = 5.

Таким образом:

d_1 = 5\sqrt{3}, \quad d_2 = 5.

Шаг 2. Найдем боковое ребро призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна:

S_\text{боковая} = P_\text{основания} \cdot h_\text{призмы},

где $P_\text{основания}$ — периметр основания ромба, а $h_\text{призмы}$ — высота призмы (или длина бокового ребра).

Периметр основания:

P_\text{основания} = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см}.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра