дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA=корень из 5, сторона основания

Ответы на вопрос

Отвечает Ташлыков Александр.

Для решения задачи, давайте разберемся шаг за шагом.

Дано:

Пирамида SABCD правильная, то есть ее основание — правильный четырехугольник.
Боковое ребро SA = √5.
Сторона основания квадрата — 2.
M — середина ребра SC.

Необходимо найти расстояние от вершины S до плоскости ADM.

Шаг 1: Местоположение точек

Обозначим вершины основания квадрата как A, B, C и D. Так как основание правильное, все его стороны равны 2, и все углы прямые.

Рассмотрим координаты точек в пространстве. Установим систему координат таким образом, чтобы точка A находилась в начале координат, а ребра квадрата располагались вдоль осей:
- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0)
- D(0, 2, 0)
- C(2, 2, 0)

Пирамида правильная, значит, вершина S расположена непосредственно над центром основания квадрата. Центр квадрата, то есть точка пересечения диагоналей, находится в точке (1, 1, 0).

Вершина S будет находиться на некоторой высоте z относительно основания, и нам нужно найти эту высоту. Для этого используем информацию о боковом ребре SA.

Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды

Длина бокового ребра SA равна √5. Мы знаем, что S находится прямо над центром основания, поэтому координаты S будут (1, 1, z). Теперь, используя формулу для длины отрезка между двумя точками, можем выразить длину ребра SA:

SA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (z - 0)^2} = \sqrt{2 + z^2}

Так как SA = √5, подставляем это в уравнение:

\sqrt{2 + z^2} = \sqrt{5}

Квадратируем обе части:

2 + z^2 = 5

Решаем относительно z:

z^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{3}

Таким образом, координаты точки S — это (1, 1, √3).

Шаг 3: Находим координаты точки M

Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой ребра SC. Ребро SC соединяет точки S(1, 1, √3) и C(2, 2, 0). Координаты точки M будут средним арифметическим координат точек S и C:

M = \left( \frac{1+2}{2}, \frac{1+2}{2}, \frac{\sqrt{3}+0}{2} \right) = \left( 1.5, 1.5, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)

Шаг 4: Уравнение плоскости ADM

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, D и M. Для этого нам нужно сначала найти два вектора, лежащих в плоскости.

Вектор AD: $\overrightarrow{AD} = (0 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (0, 2, 0)$
Вектор AM: $\overrightarrow{AM} = (1.5 - 0, 1.5 - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = (1.5, 1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, которое будет перпендикулярно плоскости ADM. Для этого используем формулу векторного произведения:

\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 1.5 & 1.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix}

Вычисляем детерминант:

\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AM} = \mathbf{i} \left( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 1.5 \right) - \mathbf{j} \left( 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 1.5 \right) + \mathbf{k} \left( 0 \cdot 1.5 - 2 \cdot 1.5 \right)

= \mathbf{i} (\sqrt{3}) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-3)

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра