Постройте график функции y= sin( x +п/3). укажите промежутки возрастания и убывания​

Для того чтобы построить график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$, сначала нужно понять, как эта функция будет выглядеть и какие её особенности.

1. Тип функции: Это тригонометрическая функция синуса, но с фазовым сдвигом. В обычной функции $y = \sin(x)$ график проходит через начало координат, и её период составляет $2\pi$. Сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ означает, что весь график будет сдвинут влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц по оси X.

2. Анализ возрастания и убывания: Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо рассматривать производную функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

   Производная функции $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ будет:

   $$\frac{d}{dx} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$$

   Теперь, чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно рассмотреть, где эта производная положительна (для возрастания) и отрицательна (для убывания).

   • Функция $\cos(x + \frac{\pi}{3})$ положительна, когда её аргумент лежит в интервалах:

     $$(2k\pi - \frac{\pi}{3}, 2k\pi + \frac{\pi}{3})$$

     для целых $k$. Это будет означать, что функция возрастает на этих промежутках.

   • Функция $\cos(x + \frac{\pi}{3})$ отрицательна, когда её аргумент лежит в интервалах:

     $$(2k\pi + \frac{\pi}{3}, (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3})$$

     Это будет означать, что функция убывает на этих промежутках.

3. График: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ будет представлять собой волнообразную кривую, сдвинутую на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево относительно графика обычной функции синуса. Максимумы функции будут происходить в точках $x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$, а минимумы — в точках $x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3}$.

Теперь давайте построим сам график и покажем эти промежутки.

На графике функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ видно её волнообразное поведение с фазовым сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$. Промежутки возрастания (обозначены зелёным цветом) и убывания (обозначены красным цветом) чередуются.

• Функция возрастает на интервалах, где производная $\cos(x + \frac{\pi}{3})$ положительна, что происходит в промежутках $(2k\pi - \frac{\pi}{3}, 2k\pi + \frac{\pi}{3})$ для целых $k$.
• Функция убывает на интервалах, где производная отрицательна, что происходит в промежутках $(2k\pi + \frac{\pi}{3}, (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3})$.

Это основные моменты поведения функции, которые указаны на графике. ​​