Из двух сел, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 часа. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на весь путь из одного села во второе на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.

Для решения этой задачи разобьем её на несколько шагов. Пусть скорость первого велосипедиста будет $v_1$ км/ч, а скорость второго — $v_2$ км/ч. Известно, что они встретились через 2 часа после начала движения.

Шаг 1: Установим первое уравнение

Расстояние между селами — 50 км. Поскольку оба велосипедиста движутся навстречу друг другу, за 2 часа они проезжают в сумме 50 км. Это можно записать как:

Отсюда выражаем:

Шаг 2: Используем информацию о времени

Далее, нам сообщают, что один из велосипедистов потратил на весь путь на 1 ч 40 мин меньше, чем другой. Время, которое потратил первый велосипедист на преодоление 50 км, равно $\frac{50}{v_1}$ часов, а для второго — $\frac{50}{v_2}$ часов.

Так как один потратил на 1 ч 40 мин меньше, то разница во времени между ними составляет 1 ч 40 мин, что равно $\frac{5}{3}$ часа. Тогда можно записать следующее уравнение:

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $v_1 + v_2 = 25$
2. $\frac{50}{v_1} = \frac{50}{v_2} - \frac{5}{3}$

Решим её. Из первого уравнения выразим $v_2$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 3 и на $v_1 (25 - v_1)$, получим:

Раскроем скобки и упростим:

Упростим правую часть:

Теперь переместим все на одну сторону:

Умножим на 1/5:

Перепишем это как квадратное уравнение: