Коэффициенты уравнения $x^2 + px + q = 0$ подобраны так, что $p + q = 30$, и уравнение имеет целые корни. Найдите все возможные значения $q$.

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим уравнение второго порядка $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ — коэффициенты, такие что $p + q = 30$, а корни этого уравнения целые.

Рассмотрим уравнение с целыми корнями. Пусть корни уравнения равны $r_1$ и $r_2$. По теореме Виета для уравнения $x^2 + px + q = 0$ выполняются следующие соотношения:

Также нам известно, что $p + q = 30$. Подставим $p = -(r_1 + r_2)$ и $q = r_1 \cdot r_2$ в это выражение:

Теперь преобразуем это уравнение:

Добавим 1 с обеих сторон:

Теперь нам нужно найти все целые пары $r_1$ и $r_2$, которые удовлетворяют этому уравнению. Так как произведение двух чисел равно 31, возможны только следующие варианты для $(r_1 - 1)$ и $(r_2 - 1)$:

Теперь найдём $r_1$ и $r_2$ для каждой пары:

1. $r_1 - 1 = 1$, $r_2 - 1 = 31$ даёт $r_1 = 2$, $r_2 = 32$.

2. $r_1 - 1 = -1$, $r_2 - 1 = -31$ даёт $r_1 = 0$, $r_2 = -30$.

3. $r_1 - 1 = 31$, $r_2 - 1 = 1$ даёт $r_1 = 32$, $r_2 = 2$.