Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Для доказательства того, что углы при основании равнобедренного треугольника острые, необходимо рассмотреть несколько геометрических фактов.

1. Свойства равнобедренного треугольника:
   Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$. Обозначим угол при основании $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$, а угол при вершине $\angle BAC = \beta$.

2. Сумма углов треугольника:
   В любом треугольнике сумма углов равна 180°. То есть:

   $$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180°$$

   Подставим в это выражение углы равнобедренного треугольника:

   $$\alpha + \alpha + \beta = 180°$$

   Это упрощается до:

   $$2\alpha + \beta = 180°$$

   Таким образом, мы видим, что угол при вершине $\beta = 180° - 2\alpha$.

3. Условия для острых углов:
   Чтобы доказать, что углы при основании острые, нужно показать, что $\alpha < 90°$. Для этого рассмотрим, что $\beta = 180° - 2\alpha$. Поскольку угол $\beta$ является углом при вершине, то он всегда меньше 180°, а следовательно:

   $$180° - 2\alpha < 180°$$

   Отсюда:

   $$2\alpha > 0$$

   Это не вызывает сомнений, так как $\alpha$ — это угол в треугольнике, и он всегда больше 0°.

4. Ограничение на угол при вершине:
   Однако, угол при вершине $\beta$ не может быть слишком острым, потому что в треугольнике сумма углов всегда 180°. Если $\beta$ будет слишком острым, то углы при основании будут слишком великими и могут превратиться в тупые.

   Следовательно, $\beta$ не может быть больше 90°, и из этого мы можем сделать вывод, что угол при вершине $\beta$ всегда меньше 90°. Таким образом, каждый из углов при основании $\alpha$ должен быть меньше 90°, чтобы соблюсти условие, что $\beta = 180° - 2\alpha$ не превышает 90°.

5. Заключение:
   Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, то есть меньше 90°, поскольку угол при вершине всегда меньше 90° и не может быть больше 180° в треугольнике.