1) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD.

Давайте разобьём задачу на части и решим шаг за шагом.

Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD, который вписан в окружность. Из условий задачи известно следующее:

• угол $\angle ABC = 110^\circ$,

• угол $\angle ABD = 70^\circ$.

Нам нужно найти угол $\angle CAD$.

Шаг 1. Свойства углов в четырёхугольнике, вписанном в окружность

Для любого четырёхугольника, вписанного в окружность, выполняется свойство: сумма противоположных углов равна 180°. То есть, для углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ выполняется следующее равенство:

Так как угол $\angle ABC = 110^\circ$, мы можем найти угол $\angle ADC$:

Шаг 2. Рассмотрим треугольник ABD

Теперь перейдём к треугольнику ABD. Из условия задачи нам известно, что угол $\angle ABD = 70^\circ$, и мы только что нашли, что угол $\angle ADC = 70^\circ$.

Кроме того, угол $\angle ABD$ и угол $\angle ADC$ — это два смежных угла, которые вместе составляют угол $\angle ADB$ в треугольнике ABD. Следовательно, угол $\angle ADB$ будет равен:

Шаг 3. Найдём угол $\angle CAD$

Теперь, чтобы найти угол $\angle CAD$, воспользуемся тем, что угол $\angle ADB$ в треугольнике ABD и угол $\angle CAD$ связаны. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для треугольника ACD, и по теореме о внешнем угле:

Поскольку $\angle ADB = 40^\circ$ и $\angle ACD = 70^\circ$, можем найти угол $\angle CAD$:

Отсюда:

Однако это противоречит реальной геометрии задачи.