Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол $\angle ABD$ в данном четырёхугольнике, воспользуемся свойствами окружности и углов, вписанных в неё.

1. Использование свойств вписанных углов.

   Важно помнить, что угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине угла, заключённого в центре окружности на той же дуге. Это свойство помогает нам связать углы, образуемые сторонами четырёхугольника.

2. Определим угол $\angle ABC$.

   Нам дано, что угол $\angle ABC = 136^\circ$. Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то противоположные углы четырёхугольника в сумме всегда равны $180^\circ$. Это называется теоремой о противоположных углах вписанных в окружность.

   Из этого следует, что угол $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

3. Использование суммы углов в треугольнике.

   Теперь обратим внимание на треугольник $\triangle ABD$. В нём угол $\angle ABC$ известен, и мы знаем угол $\angle ABD$, который нужно найти. Для этого используем свойство углов в треугольнике: сумма углов треугольника всегда равна 180°.

   Но чтобы найти угол $\angle ABD$, нам нужно знать ещё один угол в треугольнике. Нам дан угол $\angle CAD = 82^\circ$. Важно отметить, что угол $\angle CAD$ и угол $\angle BAD$ образуют развернутую прямую линию на прямой $AB$, так как $A$, $B$, и $D$ лежат на одной прямой, проходящей через точку $A$.

   Следовательно:

   $$\angle BAD = 180^\circ - \angle CAD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ.$$

4. Нахождение угла $\angle ABD$.

   Теперь, в треугольнике $\triangle ABD$ сумма углов также должна быть 180°:

   $$\angle ABD + \angle ABC + \angle BAD = 180^\circ.$$

   Подставляем известные значения:

   $$\angle ABD + 136^\circ + 98^\circ = 180^\circ.$$

   Решаем:

   $$\angle ABD = 180^\circ - 136^\circ - 98^\circ = 180^\circ - 234^\circ = -54^\circ.$$

   Такой результат, конечно же, является невозможным, что позволяет сделать вывод: