В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что треугольники А₁СВ₁ и ВСА подобны.

Чтобы доказать, что треугольники $\triangle A_1CB_1$ и $\triangle BCA$ подобны, воспользуемся свойствами высот и углов треугольников.

1. Построение и определения:
   Пусть в треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Это значит, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Таким образом, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$.

2. Треугольники $\triangle A_1CB_1$ и $\triangle BCA$:
   Рассмотрим углы в этих треугольниках.

   • В треугольнике $\triangle A_1CB_1$ угол $\angle A_1CB_1$ является прямым, так как $A_1$ и $B_1$ — это основания высот, то есть $A_1C \perp BC$ и $B_1C \perp AC$.

   • Угол $\angle BCA$ в треугольнике $\triangle BCA$ также прямой, так как высоты $AA_1$ и $BB_1$ по определению являются перпендикулярными к сторонам $BC$ и $AC$. Следовательно, углы $\angle A_1CB_1$ и $\angle BCA$ равны между собой.

3. Сходство углов:

   • Теперь, в треугольниках $\triangle A_1CB_1$ и $\triangle BCA$, у нас есть одинаковые углы: $\angle A_1CB_1 = \angle BCA$.

   • Далее, угол $\angle A_1BC$ в треугольнике $\triangle A_1CB_1$ равен углу $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle BCA$, так как они оба образуются прямыми углами, и $\angle ACB$ — общий угол для обоих треугольников.

4. Признак подобия треугольников:
   Поскольку в треугольниках $\triangle A_1CB_1$ и $\triangle BCA$ два угла одинаковы, то по признаку подобия по двум углам эти треугольники подобны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники $\triangle A_1CB_1$ и $\triangle BCA$ подобны.