Диагональ равнобедренной трапеции делит её острый угол пополам. Основания трапеции равны 6 и 15 см. Найдите периметр трапеции и среднюю линию.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и тем, что диагональ делит острый угол пополам.

Обозначим:

• $AB$ — верхнее основание трапеции, $AB = 6$ см,

• $CD$ — нижнее основание трапеции, $CD = 15$ см,

• $AD = BC = a$ — боковые стороны трапеции,

• $h$ — высота трапеции,

• $m$ — средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле:

Теперь нужно найти боковую сторону $a$ и периметр трапеции.

Шаг 1: Использование диагонали

Диагональ делит острый угол пополам, что значит, что трапеция является симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через середину основания $CD$. Следовательно, высота $h$ трапеции можно найти с помощью прямоугольного треугольника, образованного высотой, частью основания и боковой стороной.

Обозначим $x$ — длину отрезка на основании $CD$, на который высота опускает перпендикуляр. Поскольку трапеция симметрична, то $x = \frac{CD - AB}{2} = \frac{15 - 6}{2} = 4,5$ см.

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны $a$:

Нам нужно найти высоту $h$, используя тот факт, что диагональ делит острый угол пополам. Мы знаем, что в таком случае угол, который образует боковая сторона с основанием, равен $\alpha$, и что диагональ делит его пополам. Таким образом, диагональ и боковая сторона образуют два одинаковых прямоугольных треугольника, и можно найти $h$ через геометрические свойства.

Шаг 2: Периметр трапеции

Периметр трапеции вычисляется по формуле:

Таким образом, для нахождения точных значений периметра и боковой стороны, нужно решить полученную систему уравнений.