длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна 16π см. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник.

Для решения задачи начнем с того, что рассмотрим правильный треугольник и его окружность. Даны два параметра: длина окружности, описанной около треугольника, равна $16\pi$ см, и нужно найти площадь круга, вписанного в этот треугольник.

1. Найдем радиус описанной окружности.
   Длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна $2\pi R$, где $R$ — радиус окружности. Из условия задачи:

   $$2\pi R = 16\pi.$$

   Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

   $$R = 8 \text{ см}.$$

2. Вычислим сторону треугольника.
   Радиус описанной окружности для правильного треугольника связан с длиной его стороны $a$ по формуле:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}.$$

   Подставляем $R = 8$ в эту формулу:

   $$8 = \frac{a}{\sqrt{3}}.$$

   Умножим обе стороны на $\sqrt{3}$:

   $$a = 8\sqrt{3} \text{ см}.$$

3. Найдем радиус вписанной окружности.
   Радиус вписанной окружности $r$ для правильного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

   Подставляем значение $a = 8\sqrt{3}$:

   $$r = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4 \text{ см}.$$

4. Вычислим площадь круга, вписанного в треугольник.
   Площадь круга с радиусом $r$ равна:

   $$S = \pi r^2.$$

   Подставляем $r = 4$:

   $$S = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi \text{ см}^2.$$

Ответ: площадь круга, вписанного в треугольник, равна $16\pi$ см².