1. На клетчатом листе нарисована замкнутая ломаная только по сторонам клеток. Сколько вертикальных звеньев имеет ломаная, если у этой ломаной 13 горизонтальных звеньев?
2. На клетчатом листе нарисована незамкнутая ломаная только по сторонам клеток. Сколько вертикальных звеньев имеет ломаная, если у этой ломаной 13 горизонтальных звеньев?
С объяснением пожалуйста

Чтобы ответить на ваши вопросы, давайте разберем, как работают замкнутые и незамкнутые ломаные линии на клетчатом листе и как соотносятся количество горизонтальных и вертикальных звеньев.

1. Замкнутая ломаная с 13 горизонтальными звеньями

Замкнутая ломаная — это такая ломаная, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, и между звеньями нет разрывов.

Обозначим количество звеньев:

• Пусть $H$ — количество горизонтальных звеньев.
• Пусть $V$ — количество вертикальных звеньев.

Для замкнутой ломаной на клетчатом листе справедливо следующее соотношение:

• Для каждой пары горизонтального и вертикального звена, которые соединяются в углах, каждое горизонтальное звено требует соответствующего вертикального звена, чтобы замкнуть фигуру.

В нашем случае:

• Если у нас есть 13 горизонтальных звеньев ($H = 13$), то по правилам замкнутой ломаной должно быть столько же вертикальных звеньев, чтобы завершить контур. То есть, если есть 13 горизонтальных, то, как минимум, должно быть 13 вертикальных.

Однако, поскольку ломаная замкнута, количество вертикальных звеньев будет на 1 больше, чем горизонтальных, так как для замыкания последнего звена нужно дополнительно вертикальное звено, чтобы соединить последнюю горизонтальную линию с первой.

Следовательно:

• Количество вертикальных звеньев $V = H + 1 = 13 + 1 = 14$.

2. Незапрещённая (незамкнутая) ломаная с 13 горизонтальными звеньями

Теперь рассмотрим незамкнутую ломаную. Незапрещённая ломаная может начинаться и заканчиваться в разных точках, и поэтому в ней нет необходимости замыкать линии.

Здесь также действуют аналогичные соотношения:

• Каждый раз, когда появляется горизонтальное звено, может потребоваться вертикальное звено для изменения направления ломаной.

В незамкнутой ломаной:

• Если мы имеем 13 горизонтальных звеньев ($H = 13$), то максимальное количество вертикальных звеньев, которое мы можем получить, равно 13. Но поскольку незамкнутая ломаная не требует замыкания, то вертикальных звеньев может быть меньше.

Таким образом, в общем случае:

• Вертикальных звеньев будет $V = H$ или $V = H - 1$ в зависимости от конфигурации. Например, если мы просто рисуем горизонтальную линию, то вертикальных звеньев не будет вообще.

При этом, если мы предположим, что каждая горизонтальная линия меняет свое направление, можно сказать, что в незамкнутой ломаной, при 13 горизонтальных звеньях, можно получить 12 или 13 вертикальных звеньев.

Итак, для незамкнутой ломаной с 13 горизонтальными звеньями:

• Вертикальных звеньев может быть от 12 до 13, в зависимости от того, как именно она построена.

Итоги

• Для замкнутой ломаной с 13 горизонтальными звеньями количество вертикальных звеньев равно 14.
• Для незамкнутой ломаной с 13 горизонтальными звеньями количество вертикальных звеньев может быть от 12 до 13.