Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке В, а другая пересекает окружность в точках С и D (точка С лежит между точками А и D). Известно, что АВ = 18 см, АС:СD = 4:5. Найдите отрезок АD.

Для решения задачи используем теорему о секанте и касательной. Эта теорема гласит, что произведение отрезков, которые касательная и секущая образуют с окружностью, равно произведению отрезков, которые секущая делит на окружности.

1. Пусть точка $A$ — это внешняя точка, из которой проведены прямые. Прямая, касающаяся окружности в точке $B$, имеет длину отрезка $AB = 18$ см.

2. Вторая прямая пересекает окружность в точках $C$ и $D$, причём $C$ лежит между $A$ и $D$. Длина отрезков $AC$ и $CD$ связана соотношением $AC : CD = 4 : 5$. То есть, если обозначить длину отрезка $AC$ как $4x$, то длина отрезка $CD$ будет равна $5x$.

3. Отрезок $AD$, который мы ищем, можно выразить как сумму отрезков $AC + CD = 4x + 5x = 9x$.

Теперь применим теорему о секанте и касательной. Теорема утверждает, что произведение отрезка касательной и отрезков секущей, отнесённых к её точкам пересечения с окружностью, одинаково:

Подставим известные значения:

Это выражение можно упростить:

Теперь найдём $x^2$:

Из этого следует, что $x = 3$.

Теперь найдём длину отрезка $AD$:

Ответ: длина отрезка $AD$ равна 27 см.