Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=2, AC=8. Найдите AK.

Данная задача является классическим примером применения теоремы о секущих и касательных к окружности. Согласно этой теореме, если из одной точки, лежащей вне окружности, проведены две прямые — одна касается окружности, а другая пересекает её, — то произведение длин отрезков секущей, образованных окружностью, равно квадрату длины касательной.

Пусть:

• $A$ — точка, из которой выходят обе прямые.
• Прямая $AK$ — касательная к окружности в точке $K$.
• Прямая $ABC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$.

По условию задачи известно, что:

• $AB = 2$,
• $AC = 8$ (то есть длина отрезка от $A$ до точки $C$).

Применим теорему о секущей и касательной:

Подставляем значения:

Теперь находим $AK$:

Таким образом, длина отрезка $AK$ равна 4.