Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=3, AC=12. Найдите AK.

Рассмотрим геометрическую задачу и применим свойства касательных и секущих.

Условие задачи

Имеем окружность и точку $A$, лежащую вне окружности. Через эту точку проведены две прямые:

1. Прямая касается окружности в точке $K$.
2. Прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C$, причём $AB = 3$ и $AC = 12$.

Требуется найти длину отрезка $AK$.

Решение

1. Теорема о секущей и касательной

Воспользуемся теоремой о секущей и касательной. Она гласит:

Квадрат длины касательной, проведённой из внешней точки к окружности, равен произведению отрезков секущей, выходящей из этой же точки:

2. Подставляем известные значения

По условию задачи:

• $AB = 3$,
• $AC = 12$.

Отрезки $AB$ и $AC$ измерены от точки $A$ (внешней точки) до точек пересечения с окружностью. Тогда:

По теореме:

3. Вычисляем $AK$

Из равенства:

Ответ:

Длина отрезка $AK$ равна $6$.