Задача 1.
На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что AE=CF (точка E лежит между точками A и F). Докажите, что BE=DF.
Задача 2.
Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке K. AK:KD=3 : 2. Найдите периметр параллелограмма, если AB=12 см.
Задача 3.
Через середину O гипотенузы AB прямоугольник треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке M, а другая - катет BC в точке N. Найдите гипотенузу AB, если MN=7 см.

Задача 1: На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что AE = CF (точка E лежит между точками A и F). Докажите, что BE = DF.

Решение:

1. Пусть параллелограмм ABCD имеет вершины A, B, C, D. Отметим точки E и F на диагонали AC, при этом AE = CF.
2. Из условия задачи мы знаем, что AE = CF, и что точка E лежит между точками A и F.
3. Заметим, что параллелограмм имеет свойство: противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, отрезки AB и CD равны и параллельны, как и отрезки AD и BC.
4. Точки E и F лежат на диагонали AC, и так как AE = CF, то отрезки AF и CE тоже равны.
5. Рассмотрим треугольники BEA и DCF. Мы можем утверждать, что эти треугольники равны по следующим причинам:
   • Отрезки BE и DF параллельны, поскольку они являются частями сторон параллелограмма.
   • Отрезки AE и CF равны по условию.
   • Прямые, соединяющие точки B и E, а также D и F, также параллельны.
6. Из этих соображений следует, что треугольники BEA и DCF равны, а значит, BE = DF.

Задача 2: Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке K. AK:KD = 3:2. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 12 см.

Решение:

1. Из условия задачи известно, что биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке K так, что AK:KD = 3:2.
2. Так как биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону в пропорции, то для сторон AB и AD справедлива следующая пропорция: $$\frac{AB}{AD} = \frac{AK}{KD}.$$
3. Подставим данные из условия задачи: $$\frac{AB}{AD} = \frac{3}{2}.$$ Так как AB = 12 см, получаем: $$\frac{12}{AD} = \frac{3}{2}.$$
4. Решим это уравнение для AD: $$AD = \frac{12 \times 2}{3} = 8 \, \text{см}.$$
5. Периметр параллелограмма можно найти по формуле: $$P = 2(AB + AD).$$ Подставим значения: $$P = 2(12 + 8) = 2 \times 20 = 40 \, \text{см}.$$

Задача 3: Через середину O гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке M, а другая — катет BC в точке N. Найдите гипотенузу AB, если MN = 7 см.

Решение:

1. Пусть треугольник ABC — прямоугольный, угол C прямой. Пусть точка O — середина гипотенузы AB.
2. Проведем прямые, параллельные катетам AC и BC, через точку O. Эти прямые будут пересекать катеты AC и BC в точках M и N соответственно.
3. Треугольники AMN и ABC подобны, так как прямые OM и ON параллельны катетам AC и BC, а значит, угол AMN равен углу ABC, угол ANM равен углу ACB, и угол MAN равен углу BAC.
4. Поскольку треугольники AMN и ABC подобны, то их стороны пропорциональны. Таким образом, можно записать пропорцию: $$\frac{MN}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{BC}.$$
5. Из условия задачи известно, что MN = 7 см. Пусть гипотенуза AB имеет длину $x$. Тогда $$\frac{MN}{AB} = \frac{7}{x}.$$
6. Так как точка O — середина гипотенузы, то отрезок AM будет половиной отрезка AC, а отрезок AN будет половиной отрезка BC. Следовательно, можно записать, что $$AM = \frac{AC}{2} \quad \text{и} \quad AN = \frac{BC}{2}.$$
7. Мы знаем, что прямые, проведенные через точку O, делят треугольник на подобные части, и отношение сторон между треугольниками AMN и ABC будет зависеть от коэффициента, который равен 1/2, так как точка O — середина гипотенузы.
8. Таким образом, длина гипотенузы AB равна удвоенной длине отрезка MN, то есть $$AB = 2 \times MN = 2 \times 7 = 14 \, \text{см}.$$