Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, BC = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Решение.

Пусть основания $AD \parallel BC$, $AD=24$, $BC=16$, $\angle A=45^\circ$, $\angle D=90^\circ$.

Расположим трапецию так: $AD$ — горизонтально снизу, $A(0,0)$, $D(24,0)$.
Из условия $\angle D=90^\circ$ следует, что боковая сторона $CD$ перпендикулярна $AD$, то есть вертикальна: $x=24$. Тогда точка $C=(24,h)$, где $h$ — высота трапеции.

Угол при $A$ равен $45^\circ$, значит боковая сторона $AB$ образует с $AD$ угол $45^\circ$ и имеет наклон 1: её уравнение $y=x$. Точка $B$ лежит на верхнем основании $y=h$, следовательно $B=(h,h)$.

Длина верхнего основания:

По условию $BC=16$, откуда $24-h=16\Rightarrow h=8$.

Площадь трапеции:

Ответ: $160\ \text{см}^2$.