В трапеции АВСД с основаниями АД и ВС диагонали пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 4, площадь треугольника АОД равна 9. Найдите площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции $ABCD$, где основания $AD$ и $BC$, а диагонали пересекаются в точке $O$, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Свойство диагоналей в трапеции

В трапеции диагонали делятся точкой пересечения $O$ в одном и том же отношении, равном отношению оснований. То есть, если основания $AD$ и $BC$, то:

Шаг 2: Связь площадей треугольников

Площади треугольников, образованных диагоналями, пропорциональны длинам оснований. Пусть $S_{BOS}$ и $S_{AOD}$ — площади треугольников $BOC$ и $AOD$ соответственно. Тогда:

Из условия задачи известно, что:

Поэтому отношение оснований равно:

Шаг 3: Общая площадь трапеции

Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников, образованных диагоналями. Эти треугольники дополняют друг друга до всей площади трапеции. То есть:

Треугольники $AOB$ и $COD$ также будут пропорциональны основанию и его отношению. Пусть $k = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{4}$. Тогда их площади можно выразить через известные треугольники:

1. Площадь $\triangle AOB$ равна площади $\triangle BOC$, умноженной на $k$:

   $$S_{AOB} = S_{BOC} \cdot k = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9.$$

2. Площадь $\triangle COD$ равна площади $\triangle AOD$, умноженной на $\frac{1}{k}$:

   $$S_{COD} = S_{AOD} \cdot \frac{1}{k} = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4.$$

Шаг 4: Подсчёт общей площади

Теперь складываем все площади:

Подставим значения:

Ответ:

Площадь трапеции $ABCD$ равна 26.