В трапеции abcd с основаниями ad и bc диагонали ac и bd пересекаются в точке O так, что одна из них делится в отношении 1:2. Найдите площадь трапеции если площадь треугольника boc равна 8

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ (большое основание) и $BC$ (малое основание). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем одна из диагоналей делится точкой $O$ в отношении $1:2$. Нам известно, что площадь треугольника $BOC$ равна 8. Необходимо найти площадь всей трапеции.

Шаг 1: Воспользуемся свойствами трапеций и пропорциями

1. Пусть диагональ $AC$ делится точкой $O$ в отношении $1:2$ (то есть, $AO:OC = 1:2$).
2. Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ трапеции в одинаковом отношении по длине, так как $AC$ и $BD$ пересекаются внутри трапеции.

Это значит, что точка $O$ также делит диагональ $BD$ в отношении $1:2$.

Шаг 2: Связь площадей треугольников

Треугольники, образованные пересечением диагоналей, пропорциональны по площади в зависимости от отношения деления диагоналей.

1. $\text{Площадь треугольника } BOC = 8.$
2. Так как диагональ $BD$ делится в отношении $1:2$, треугольники $BOD$ и $BOC$ имеют площади в отношении $1:2$, так что: $$\text{Площадь треугольника } BOD = 2 \cdot \text{Площадь треугольника } BOC = 2 \cdot 8 = 16.$$

Шаг 3: Суммарная площадь трапеции

Треугольники $BOC$ и $BOD$ составляют половину площади трапеции. Вторая половина площади — это сумма площадей треугольников $AOD$ и $AOC$.

Так как диагональ $AC$ делится в отношении $1:2$, площади треугольников $AOD$ и $AOC$ находятся в отношении $1:2$. Пусть их общая площадь равна $S$:

Из симметрии свойств деления диагоналей:

С учетом пропорций, площади $AOD$ и $AOC$ равны соответственно $8$ и $16$ (по аналогии с $BOC$ и $BOD$).

Шаг 4: Общая площадь трапеции

Суммируем все площади треугольников:

Ответ

Площадь трапеции равна 48.