В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 8 см. Внешний угол при вершине А равен 150 градусов. Найдите катет ВС.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и углов.

1. В прямоугольном треугольнике угол при вершине А прямой, то есть угол A = 90°.

2. Согласно условию задачи, внешний угол при вершине А равен 150°. Внешний угол при вершине А равен сумме углов B и C, так как они составляют полный угол (180°). То есть, угол B + угол C = 150°.

3. Поскольку треугольник прямоугольный, то угол C (угол между гипотенузой и катетом BC) равен 90°. Значит, угол B = 150° - 90° = 60°.

4. Таким образом, мы знаем, что угол B равен 60°, а угол C — 90°, что означает, что угол B равен углу прямоугольного треугольника с углом 30° при вершине C. Это треугольник с углами 30°-60°-90°, для которого существует известное соотношение между сторонами:

   • гипотенуза = 2 * катет напротив угла 30°,

   • катет напротив угла 60° = √3 * катет напротив угла 30°.

5. В данном случае гипотенуза AB = 8 см, и она в два раза больше катета напротив угла 30° (то есть катета AC). Следовательно, катет AC = 8 / 2 = 4 см.

6. Теперь, зная, что катет BC — это катет напротив угла 60°, и используя соотношение для треугольника 30°-60°-90°, находим, что катет BC = √3 * катет AC = √3 * 4 ≈ 6.93 см.

Ответ: катет ВС равен примерно 6.93 см.