Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120 градусов, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Возьмём правильный круговой конус радиуса основания $R=4$ и его сечение плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания, стягивающую дугу $120^\circ$.

1. Длина хорды основания (это основание искомого треугольника-сечения):

2. Расстояние от центра основания $O$ до этой хорды:

3. Плоскость сечения образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между плоскостями, измеренный по перпендикулярам к их линии пересечения (к хорде), равен

где $H$ — высота конуса (расстояние от вершины до плоскости основания), а $d$ — расстояние от $O$ до хорды. Из $\alpha=45^\circ$ получаем

4. Высота треугольника-сечения (перпендикуляр к хорде в плоскости сечения) есть расстояние от вершины до хорды:

5. Площадь треугольника-сечения:

Ответ: $\boxed{4\sqrt6\ \text{см}^2}$.