1)Найдите объём конуса, если хорду равную 6 корней из 2 см, видно из вершины конуса под углом 90, а угол при вершине осевого сечения равен 120.

2) Объем конуса равен 100п(пи) см^3. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его осевое сечение имеет площадь 60 см^3.

1. Задача 1: Найти объём конуса

Дано:

• Хорда основания конуса равна $6\sqrt{2}$ см.
• Угол, под которым видна хорда из вершины конуса, равен 90°.
• Угол при вершине осевого сечения равен 120°.

Решение:

1. Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, где боковые стороны — это образующие конуса, а основание — это хорда основания конуса. Угол при вершине этого треугольника равен 120°.

2. Поскольку угол между боковыми сторонами осевого сечения 120°, то угол между боковой стороной и основанием будет равен 60°, так как угол между двумя образующими в осевом сечении всегда равен 180° минус угол вершины.

3. Полная длина хорды основания основания конуса равна $6\sqrt{2}$, следовательно, половина этой хорды (расстояние от центра основания до одного конца хорды) составляет $\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

4. Используем тригонометрию. В равнобедренном треугольнике, образующемся при осевом сечении, катет (половина хорды) связан с радиусом основания и углом с помощью тангенса угла. Поскольку угол 60°, то:

   $$r = \frac{3\sqrt{2}}{\tan(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$$

   Таким образом, радиус основания $r = \sqrt{6}$ см.

5. Теперь находим высоту конуса $h$ из осевого сечения. Для этого используем следующее соотношение:

   $$h = r \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см}.$$

6. Объём конуса вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$$

   Подставим известные значения:

   $$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{6})^2 (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 18\pi \sqrt{2} = 6\pi\sqrt{2} \, \text{см}^3.$$

   Ответ: объём конуса $V = 6\pi\sqrt{2}$ см³.

2. Задача 2: Найти площадь боковой поверхности конуса

Дано:

• Объём конуса равен $100\pi$ см³.
• Площадь осевого сечения конуса равна 60 см².

Решение:

1. Площадь осевого сечения представляет собой прямоугольный треугольник, где основание — это диаметр основания конуса, а высота — это высота конуса. Площадь осевого сечения можно выразить через эти параметры:

   $$S_{\text{осевое}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h.$$

   Из условия задачи известно, что площадь осевого сечения равна 60 см², то есть:

   $$r \cdot h = 60.$$

2. Объём конуса вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$$

   Подставим значение объёма $100\pi$ см³:

   $$100\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$$

   Упростим это выражение, разделив обе части на $\pi$:

   $$100 = \frac{1}{3} r^2 h.$$

   Умножим обе части на 3:

   $$300 = r^2 h.$$

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   $$r \cdot h = 60 \quad \text{и} \quad r^2 h = 300.$$

   Разделим второе уравнение на первое:

   $$\frac{r^2 h}{r \cdot h} = \frac{300}{60},$$