Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника — 10 см. Найдите:

1. радиус окружности, описанной около многоугольника;
2. количество сторон многоугольника.

Давайте разберемся поэтапно, как решить эту задачу.

У нас есть правильный многоугольник, в который вписана окружность радиусом 5 см, и длина стороны этого многоугольника равна 10 см. Нам нужно найти два параметра:

1. Радиус окружности, описанной около многоугольника.
2. Количество сторон многоугольника.

1. Как найти количество сторон многоугольника?

Для начала используем известную формулу для связи между радиусом вписанной окружности (r) и длиной стороны правильного многоугольника (a):

где:

• $r$ — радиус вписанной окружности,
• $a$ — длина стороны многоугольника,
• $n$ — количество сторон многоугольника.

Из этой формулы можно выразить $n$:

Подставляем известные значения $r = 5$ см и $a = 10$ см:

Упростим:

Так как $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, то:

Следовательно, $n = 4$.

Итак, количество сторон многоугольника $n = 4$, значит, это квадрат.

2. Как найти радиус описанной окружности?

Теперь, зная, что это квадрат, можно использовать формулу для радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника. Радиус описанной окружности $R$ для правильного многоугольника с $n$ сторонами и длиной стороны $a$ выражается через формулу:

Для квадрата ($n = 4$) эта формула примет вид:

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим значения:

Таким образом, радиус описанной окружности равен $5\sqrt{2}$ см.

Ответ:

1. Радиус окружности, описанной около многоугольника, равен $5\sqrt{2}$ см.
2. Количество сторон многоугольника — 4 (это квадрат).