Найти площадь осевого сечения, площадь боковой и полной поверхности, объем конуса, если образующая равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Для нахождения площади осевого сечения, площади боковой и полной поверхности, а также объема конуса, если образующая конуса равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°, нужно использовать следующие данные и формулы:

1. Площадь осевого сечения:

   Осевое сечение конуса — это треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота равна высоте конуса. Чтобы найти площадь осевого сечения, достаточно найти его высоту и основание.

   • Образующая конуса $l = 10$ см.

   • Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$.

   Высота конуса $h$ можно найти по формуле:

   $$h = l \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5 \text{ см}.$$

   Диаметр основания $D$ конуса можно найти через радиус основания $R$, который равен:

   $$R = l \cdot \cos(\alpha) = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \text{ см}.$$

   Таким образом, диаметр основания $D = 2R \approx 17.32$ см.

   Площадь осевого сечения $S_{\text{сечение}}$ равна площади треугольника с основанием $D$ и высотой $h$:

   $$S_{\text{сечение}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 17.32 \cdot 5 \approx 43.3 \text{ см}^2.$$

2. Площадь боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

   $$S_{\text{боковая}} = \pi \cdot R \cdot l,$$

   где $R$ — радиус основания, $l$ — образующая.

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{боковая}} = \pi \cdot 8.66 \cdot 10 \approx 271.5 \text{ см}^2.$$

3. Площадь полной поверхности:

   Площадь полной поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + S_{\text{основание}},$$

   где площадь основания $S_{\text{основание}} = \pi \cdot R^2$.

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{основание}} = \pi \cdot (8.66)^2 \approx 236.3 \text{ см}^2.$$

   Тогда полная площадь поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = 271.5 + 236.3 \approx 507.8 \text{ см}^2.$$

4. Объем конуса:

   Объем конуса можно найти по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot h.$$

   Подставляем значения:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (8.66)^2 \cdot 5 \approx 1231.5 \text{ см}^3.$$

Итак, получаем следующие результаты:

• Площадь осевого сечения: примерно 43.3 см².

• Площадь боковой поверхности: примерно 271.5 см².

• Площадь полной поверхности: примерно 507.8 см².

• Объем конуса: примерно 1231.5 см³.