Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена под углом 30 градусов, найти: а) площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Ланчези Влад.

Задача: Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена под углом 30 градусов. Найти:

а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60 градусов.
б) Площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Дано:

Радиус основания конуса $r = 6$ см.
Угол между осью конуса и образующей $\alpha = 30^\circ$ .
Угол между образующими в сечении $\beta = 60^\circ$ .

1. Найдем высоту и образующую конуса:

Используем треугольник, образованный высотой конуса $h$ , радиусом основания $r$ , и образующей $l$ .

Из геометрии конуса известно, что:

Образующая $l$ и радиус основания $r$ связаны с высотой конуса $h$ через угол наклона $\alpha$ (угол между осью конуса и образующей).

Используем тригонометрическую зависимость:

\tan \alpha = \frac{r}{h}

\tан 30^\circ = \frac{6}{h}

h = \frac{6}{\tan 30^\circ} = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6 \cdot \sqrt{3} \approx 10.39 \, \text{см}.

Теперь найдем длину образующей $l$ из прямоугольного треугольника, где $l$ — гипотенуза, $h$ — высота, а $r$ — основание:

l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.

2. Найдем площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие (а):

Когда секущая плоскость проходит через две образующие, она создает треугольное сечение. Угол между образующими в этом сечении составляет $\beta = 60^\circ$ .

Длина каждой стороны треугольника равна длине образующей конуса $l = 12$ см. Сечение — это равнобедренный треугольник с углом между сторонами 60 градусов.

Для нахождения площади треугольника используем формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2} l^2 \sin \beta

S = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72 \cdot 0.866 = 62.35 \, \text{см}^2.

Итак, площадь сечения $S = 62.35 \, \text{см}^2$ .

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса (б):

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

S_{\text{бок}} = \pi r l

Подставляем известные значения:

S_{\text{бок}} = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72 \pi \approx 226.2 \, \text{см}^2.

Ответ:

а) Площадь сечения конуса — $62.35 \, \text{см}^2$ .
б) Площадь боковой поверхности конуса — $226.2 \, \text{см}^2$ .