Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 градусов.площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Мырзабаев Алмас.

Чтобы решить задачу, найдём сначала площадь осевого сечения конуса, а затем площадь его поверхности.

1. Площадь осевого сечения

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а боковые стороны — это образующие конуса.

Дано:

Угол между двумя образующими, пересечёнными в данном сечении: $\angle = 30^\circ$ .
Площадь данного сечения равна 16 см².

Высота и радиус в сечении:

Площадь треугольника через угол и стороны (образующие) выражается формулой:

S = \frac{1}{2} l_1 l_2 \sin(\angle),

где:

$l_1$ и $l_2$ — длины образующих,
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ .

В данном случае $l_1 = l_2 = l$ , так как треугольник равнобедренный. Подставим:

16 = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \frac{1}{2},

16 = \frac{l^2}{4}.

Умножим на 4:

l^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad l = 8 \, \text{см}.

Радиус и высота конуса:

Из условия: образующая наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$ . Это означает, что угол между высотой $h$ и образующей $l$ равен $60^\circ$ . Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где $l$ — гипотенуза:

\cos(60^\circ) = \frac{h}{l}.

Подставим:

\frac{1}{2} = \frac{h}{8} \quad \Rightarrow \quad h = 4 \, \text{см}.

Радиус основания $r$ найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой $l = 8$ и высотой $h = 4$ :

l^2 = h^2 + r^2,

8^2 = 4^2 + r^2 \quad \Rightarrow \quad 64 = 16 + r^2 \quad \Rightarrow \quad r^2 = 48 \quad \Rightarrow \quad r = 4\sqrt{3} \, \text{см}.

Площадь осевого сечения:

Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $h$ . Его площадь:

S_{\text{осевое}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h.

Подставим:

S_{\text{осевое}} = (4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2.

2. Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности.

Площадь основания:

Площадь основания — круг с радиусом $r$ :

S_{\text{основания}} = \pi r^2.

Подставим:

S_{\text{основания}} = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 48 = 48\pi \, \text{см}^2.

Боковая поверхность:

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

S_{\text{боковая}} = \pi r l.

Подставим:

S_{\text{боковая}} = \pi \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 8 = 32\sqrt{3}\pi \, \text{см}^2.

Ответы на вопрос

1. Площадь осевого сечения

Дано:

Высота и радиус в сечении:

Радиус и высота конуса:

Площадь осевого сечения:

2. Площадь поверхности конуса

Площадь основания:

Боковая поверхность:

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия