В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки 4 и 6. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.

Обозначим точку пересечения хорд через $P$. По условию каждая хорда делится другой на отрезки $4$ и $6$. Значит, на одной хорде от $P$ до концов отложены длины $4$ и $6$, и на другой хорде — тоже $4$ и $6$ (в каком порядке — неважно, это не повлияет на искомые расстояния).

1) Введём координаты

Расположим систему координат так, чтобы:

• точка $P$ была началом координат $(0,0)$,

• одна хорда лежала на оси $Ox$,

• другая (перпендикулярная ей) — на оси $Oy$.

Тогда концы первой хорды можно взять как

а концы второй хорды как

(Если где-то поменять местами $4$ и $6$, получится, например, $( -6,0)$ и $(4,0)$; итог для расстояний будет тот же.)

Пусть центр окружности $O$ имеет координаты $(h,k)$.

2) Найдём $h$ и $k$ из равенства расстояний до концов хорд

Так как $A$ и $B$ лежат на окружности, расстояния от центра до них равны:

Подставим:

Сокращаем $k^2$:

Раскрываем скобки:

Аналогично для $C$ и $D$:

Сокращаем $h^2$:

Итак, центр окружности относительно точки $P$ имеет координаты:

3) Расстояния от центра до каждой хорды

• Первая хорда лежит на прямой $y=0$. Расстояние от точки $(1,1)$ до $y=0$ равно $|1|=1$.

• Вторая хорда лежит на прямой $x=0$. Расстояние от $(1,1)$ до $x=0$ равно $|1|=1$.

Ответ

Расстояние от центра окружности до каждой из хорд равно