1.) Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см

Ответы на вопрос

Отвечает Галас Вася.

Рассмотрим задачи одну за другой.

Задача 1

У нас есть хорды $MN$ и $KL$ , пересекающиеся в точке $A$ . Из условия известно:

Хорда $MN$ делится точкой $A$ на отрезки $AM = 1$ см и $AN = 15$ см.
Хорда $KL$ в два раза меньше хорды $MN$ .

Решение:

Для хорд, пересекающихся в точке, существует теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд: произведение длин отрезков одной хорды, отсекаемых точкой пересечения, равно произведению длин отрезков другой хорды, отсекаемых точкой пересечения.

Обозначим длину хорды $MN$ как $MN = AM + AN = 1 + 15 = 16$ см.

Так как $KL$ в два раза меньше, то длина хорды $KL$ будет $KL = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь обозначим длины отрезков, на которые делится хорда $KL$ в точке $A$ , как $KA = x$ и $AL = y$ . Тогда $KL = x + y = 8$ см.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

AM \cdot AN = KA \cdot AL

Подставим известные значения:

1 \cdot 15 = x \cdot y

Получаем уравнение:

15 = x \cdot y

Также у нас есть уравнение $x + y = 8$ .

Решим систему уравнений:

$x + y = 8$
$x \cdot y = 15$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$ : $y = 8 - x$ .

Подставим во второе уравнение:

x \cdot (8 - x) = 15

8x - x^2 = 15

x^2 - 8x + 15 = 0

Решим квадратное уравнение:

x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}

Получаем два значения:

$x = \frac{8 + 2}{2} = 5$
$x = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Тогда $x = 5$ и $y = 3$ , или $x = 3$ и $y = 5$ .

Таким образом, точка $A$ делит хорду $KL$ на отрезки длиной 5 см и 3 см.

Задача 2

Даны хорды $AB$ и $CD$ , пересекающиеся в точке $M$ . Из условия известно:

$CM = 4$ см.
$DM = 9$ см.
Отношение $AM : MB = 4$ .

Решение:

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

AM \cdot MB = CM \cdot MD

Подставим известные значения $CM = 4$ и $DM = 9$ :

AM \cdot MB = 4 \cdot 9 = 36

Пусть $AM = 4x$ и $MB = x$ , так как $AM : MB = 4$ .

Тогда:

AM \cdot MB = (4x) \cdot x = 4x^2

Подставим значение произведения, найденное ранее:

4x^2 = 36

x^2 = 9

x = 3

Следовательно, $AM = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см и $MB = x = 3$ см.

Теперь найдем длину хорды $AB$ :

AB = AM + MB = 12 + 3 = 15 \text{ см}

Ответы на вопрос

Задача 1

Решение:

Задача 2

Решение:

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия